Tìm định thức của ma trận:

A = [ − 2 2 − 3 − 1 1 3 2 0 − 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}}

Cách 1: Sử dụng công thức Leibniz

det ( A ) {\displaystyle \det(A)\,}	= {\displaystyle =\,}	( − 2 ) ⋅ 1 ⋅ ( − 1 ) + 2 ⋅ 3 ⋅ 2 + ( − 3 ) ⋅ ( − 1 ) ⋅ 0 {\displaystyle (-2)\cdot 1\cdot (-1)+2\cdot 3\cdot 2+(-3)\cdot (-1)\cdot 0}
		− 2 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) − 0 ⋅ 3 ⋅ ( − 2 ) − ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ⋅ 2 {\displaystyle -2\cdot 1\cdot (-3)-0\cdot 3\cdot (-2)-(-1)\cdot (-1)\cdot 2}
	= {\displaystyle =\,}	2 + 12 + 0 + 6 − 2 = 18 {\displaystyle 2+12+0+6-2=18\,}

Cách 2: Sử dụng công thức Laplace để khai triển định thức theo một hàng hoặc một cột. Cách tốt nhất là chọn hàng, hoặc cột nào có nhiều phần tử bằng 0, vì như vậy, giá trị định thức của phần tử đó sẽ bằng 0 ( A i , j × C i , j   =   0 × C i , j   =   0 {\displaystyle A_{i,j}\times C_{i,j}\ =\ 0\times C_{i,j}\ =\ 0} ) vì thế ta sẽ khai triển theo cột thứ 2.

det ( A ) {\displaystyle \det(A)\,}	= {\displaystyle =\,}	( − 1 ) 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ det [ − 1 3 2 − 1 ] + ( − 1 ) 2 + 2 ⋅ 1 ⋅ det [ − 2 − 3 2 − 1 ] {\displaystyle (-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \det {\begin{bmatrix}-1&3\\2&-1\end{bmatrix}}+(-1)^{2+2}\cdot 1\cdot \det {\begin{bmatrix}-2&-3\\2&-1\end{bmatrix}}}
	= {\displaystyle =\,}	( − 2 ) ⋅ ( ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ 3 ) + 1 ⋅ ( ( − 2 ) ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ ( − 3 ) ) {\displaystyle (-2)\cdot ((-1)\cdot (-1)-2\cdot 3)+1\cdot ((-2)\cdot (-1)-2\cdot (-3))}
	= {\displaystyle =\,}	( − 2 ) ( − 5 ) + 8 = 18. {\displaystyle (-2)(-5)+8=18.\,}

Cách 3: Sử dụng phép khử Gauss, bằng việc áp dụng các tính chất của định thức, biến đổi các cột, hoặc hàng thành dạng đơn giản, như chứa phần tử bằng 0, sau đó tính định thức theo hàng, cột đó.

[ 0 2 − 3 0 1 3 2 0 − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2&-3\\0&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}}

và định thức sẽ được tính nhanh khi khai triển theo cột đầu tiên:

det ( A ) {\displaystyle \det(A)\,}	= {\displaystyle =\,}	( − 1 ) 1 + 3 ⋅ 2 ⋅ det [ 2 − 3 1 3 ] {\displaystyle (-1)^{1+3}\cdot 2\cdot \det {\begin{bmatrix}2&-3\\1&3\end{bmatrix}}}
	= {\displaystyle =\,}	2 ⋅ ( 2 ⋅ 3 − 1 ⋅ ( − 3 ) ) = 2 ⋅ 9 = 18. {\displaystyle 2\cdot (2\cdot 3-1\cdot (-3))=2\cdot 9=18.\,}

…== Các tính chất và phép biến đổi trên các hàng và các cột của định thức ==Cho ma trận A vuông cấp n:

1. Định thức của A bằng không nếu một trong các điều kiện sau xảy ra:
   1. A có tất cả các phần tử trên một hàng (hoặc một cột) bằng 0;
   2. A có hai hàng (hoặc hai cột) tỷ lệ;
   3. Tổng quát: A có một hàng (hoặc một cột) là tổ hợp tuyến tính của các hang (hoặc các cột) khác.
2. Trên các hàng và các cột của A có thể thực hiện các phép biến đổi sau:
   1. Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) khác nhau thì định thức đổi dấu;
   2. Nếu nhân một hằng số a vào một hàng (hoặc một cột) của A thì định thức của ma trận cuối sẽ là a.det(A);
   3. Nếu nhân một số a ≠0 vào một hàng (hoặc một cột) của A, và cộng hàng (hoặc cột) này vào một hàng (hoặc một cột) khác thì giá trị của định thức sẽ không đổi